www.facebook.com/groups/toantrongtam/
CHUYÊN ĐỀ 6: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Dạng 1. Tính được giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ
cầm tay.
Câu 1.

đến

bằng máy tính

Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào là đúng?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Sử dụng máy tính cầm tay (máy tính CASIO fx – 570 VN PLUS) ta thực hiện các bước như
sau:
Nhấn các phím SIN 150 =, kết quả nhận được là:

.

Nhấn các phím COS 150 =, kết quả nhận được là:

.

Nhấn các phím TAN 150 =, kết quả nhận được là:
Nhấn các phím 1 TAN 150 =, kết quả nhận được là:
Câu 2.

Tính giá trị của

.

A.

B.

.

.

C.

.
.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Sử dụng máy tính cầm tay (máy tính CASIO fx – 570 VN PLUS) ta thực hiện các bước như
sau:
Chuyển đổi từ độ sang rad ta nhấn SHIFT MODE 4.
Sau đó nhấn các phím
Câu 3.

Tính giá trị của
A.

.

SIN 47 SHIFT

6 =, ta được kết quả

.

(làm tròn đến chữ số thập phân thứ 4)
B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Sử dụng máy tính cầm tay (máy tính CASIO fx – 570 VN PLUS) ta thực hiện các bước như
sau:
Trang 1

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Chuyển đổi từ rad sang độ ta nhấn SHIFT MODE 3.
Nhấn các phím SIN 25 =, kết quả nhận được là:
án B
Câu 4.

Biết
A.

, tìm
.

.
B.

.

, làm tròn 4 chữ số ta chọn đáp

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Sử dụng máy tính cầm tay (máy tính CASIO fx – 570 VN PLUS) ta thực hiện các bước như
sau:
Chuyển đổi từ rad sang độ ta nhấn SHIFT MODE 3.
Nhấn các phím SHIFT SIN 0.7314 =, kết quả nhận được là:
ta được góc
Câu 5.

, tiếp tục nhấn phím

.

Cho hình vẽ sau:

Giá trị góc
A.

là

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Ta có:
Sử dụng máy tính cầm tay (máy tính CASIO fx – 570 VN PLUS) ta thực hiện các bước như
sau:
Chuyển đổi từ rad sang độ ta nhấn SHIFT MODE 3.
Nhấn các phím SHIFT

Câu 6.

nhấn phím

ta được góc

Biết

,

A.

.

SIN 3 5, kết quả nhận được là:
.

. Tính giá trị
B.

, tiếp tục

.

.
C.

Lời giải
Trang 2

.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

Chọn C

Ta có

, thay

vào ta được:

. Vì

nên

Dạng 2. Lý thuyết, bài tập nhận biết về hệ thức liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc phụ nhau.
Lý thuyết: Giá trị lượng giác của góc phụ nhau:
Theo hình vẽ ta thấy

và

và

đối xứng nhau qua phân giác

như hình vẽ, nên ta có:

Đơn vị rad

Đơn vị độ

Bài tập trắc nghiệm

Câu 7.

Đơn giản biểu thức
A.
.

ta được
B.

.

C.
Lời giải
Trang 3

.

D.

.

của góc

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

Chọn D

Áp

dụng

công

thức:

và

ta

nên đáp án
Câu 8.

có

đúng.

Chọn khẳng định đúng?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D

Ta có

,

nên đáp án

nên đáp án
Câu 9.

Trong tam giác
A.

sai, đáp án

đúng.

sai do thiếu đơn vị.

, đẳng thức nào dưới đây luôn đúng?
.

C.

,

B.

.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Trong tam giác

, ta có:

nên A sai.

nên B sai.

nên C sai.

do đó
án

vậy đáp

đúng.

Câu 10. Với mọi
A. .

thì
B.

.

bằng
C.
Trang 4

.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Lời giải
Chọn B

Ta có

Suy ra

Câu 11. Biết
A.

nên chọn đáp án

. Giá trị của
.

B.

.

bằng
.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Ta có:

Do chọn đáp án

.

Câu 12. Biểu thức
A.
.

B.

.

C.

có biểu thức rút gọn là
.
D.

Lời giải
Chọn C

Ta có:

Suy ra chọn đáp án

.

Dạng 3. Lý thuyết, bài tập nhận biết về hệ thức liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc bù nhau.
Lý thuyết
Trang 5

.

Hai góc bù nhau:
Hai góc

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

được gọi là bù nhau nếu

.

Hệ thức liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc bù nhau

và

:

;
;
;
.
Bài tập
Câu 13. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
. B.

. C.

. D.

.

Lời giải
Chọn A
Xét đáp án

, có

Xét đáp án

, có

loại

.

Xét đáp án

, có

loại

.

Xét đáp án

, có

loại

.

Câu 14. Nếu

chọn

.

thì đẳng thức nào sau đây sai?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Xét đáp án

có

Xét đáp án

có

suy ra

Xét đáp án

có

suy ra

Xét đáp án

có

Câu 15. Giá trị của biểu thức
A. .

suy ra

đúng.

sai.
đúng.
suy ra

đúng.
bằng

B.

.

C.
Lời giải

Chọn C
Ta có:
Trang 6

.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

.
Câu 16. Tính
A.

.
.

B.

.

C. .

D.

.

Lời giải
Chọn D
Ta có:

.
Câu 17. Đơn giản biểu thức
A.

. B.

. C.

. D.

Lời giải
Chọn A
Ta có:

.
Câu 18. Cho tam giác

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

.

B.

C.

.

D.

.
.

Lời giải
Chọn D
Xét đáp án

, có

loại

Xét đáp án

, có

loại

.

Xét đáp án

, có

loại

.

Trang 7

.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Xét đáp án

, có

chọn

.

Dạng 4. Cho giá trị lượng giác một góc, tính một (số) giá trị lượng giác còn lại (dạng cơ bản).
Câu 19. Cho

với

A.

,

.

,

. Khi đó
.
.

B.

,

D.

,

.
.

C
Lời giải
Chọn C

Vì

nên nhận

Vì

nên nhận

Câu 20. Cho
A.

và
;

. Giá trị của

.

B.

;

.

và
C.

lần lượt là 
;

.

D.

;

.

Lời giải
Chọn D

Do

nên

Từ đó ta có
.

Câu 21. Cho
A.

với
.

. Khi đó giá trị
B.

.

C.
Lời giải

Chọn A

Trang 8

bằng
.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

Vì

.

Suy ra
Câu 22. Cho biết

. Tính

A.

.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn A

Ta có:

.

Câu 23. Cho
A.

và

. Giá trị của biểu thức

.

B.

.

C.

là
.

D.

.

Lời giải
Chọn B

Vì

. Vậy

và

.

.
Câu 24. Biết
A.

và

. Giá trị

.

B.

bằng

.

C.
Lời giải

Chọn A
Do

nên

và

. Từ đó
Trang 9

.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Ta có

.

Như vậy,

.

Dạng 5. Lý thuyết, bài tập về cách áp dụng định lý cosin trong giải tam giác.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định lí côsin: Trong tam giác

với

và

. Ta có:

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Câu 25. Cho tam giác

với

và

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

.

B.

C.

.

D.

.
.

Lời giải
Chọn B
Câu 26. Cho tam giác
A.

có

.

. Độ dài cạnh
B.

.

C.

là
.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Ta có:

.

Câu 27. Cho tam giác
A.

có
.

. Độ dài cạnh
B.

.

C.
Lời giải

Chọn D
Trang 10

là
.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Ta có:

.

Câu 28. Cho tam giác
A.

cân tại

.

có

. Độ dài cạnh

B.

.

C.

là

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Tam giác

cân tại

nên

.

Ta có:

.

Câu 29. Cho tam giác
dài cạnh
là
A.

.

có

. Gọi
B.

.

C.

là điểm đối xứng với
.

D.

qua

. Độ

.

Lời giải
Chọn A

Do

là điểm đối xứng với

Xét tam giác

qua

nên

. Vậy

.

ta có:
.

Câu 30. Cho tam giác
có
, tổng hai cạnh còn lại là
nhất và cạnh bé nhất của tam giác bằng
A. .
B. .
C. .

. Hiệu giữa dài cạnh lớn
D.

.

Lời giải
Chọn D
Ta có:
.
Ta lại có:

thay vào

ta được:

.
+) Với

.
Trang 11

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
.

+) Với

Vậy hiệu giữa dài cạnh lớn nhất và cạnh bé nhất của tam giác bằng:

.

Dạng 6. Lý thuyết, bài tập về cách áp dụng định lý sin trong giải tam giác.
Câu 31. Tam giác
A.

có

,

.

và

B.

. Tính độ dài cạnh

.

C.

.

.
D.

.

Lời giải
Chọn A
Áp dụng định lí sin ta có
Câu 32. Cho tam giác
.
A.

.

cân tại

.

và có

B.

cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Từ

suy ra

.

Áp dụng định lý sin ta có 
Câu 33. Cho tam giác
có
cạnh còn lại của tam giác
A.
C.

.
và thỏa mãn đẳng thức

. Tính độ dài các

.

.

B.

.

D.

.
.

Lời giải
Chọn A
Theo định lý sin trong tam giác

ta có

mà

nên
Câu 34. Cho tam giác
A. Tam giác
C. Tam giác

thỏa mãn điều kiện
cân tại .

. Mệnh đề nào sau đây đúng?
B. Tam giác
cân tại .

vuông tại

D. Tam giác

.
Trang 12

vuông tại

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Lời giải
Chọn B
Từ

.

Vậy tam giác
Câu 35. Tam giác
A.

cân tại

.

có các góc

.

B.

. Tính tỉ số
.

C.

.
.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Từ

.

Áp dụng định lí sin ta có
Câu 36. Cho tam giác

.

có

A.

.

và

. Tính

B.

.

. C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Áp dụng định lí sin ta có

.

Dạng 7. Lý thuyết, bài tập về cách áp dụng công thức tính diện tích tam giác.
Câu 37. Cho tam giác
có diện tích
các khẳng định sau?
A.

.

với

B.

. Chọn khẳng định đúng trong

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
A
b

c
a

B

Theo công thức diện tích tam giác ta có:
Trang 13

C

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Câu 38. Cho tam giác
A.

có

.

. Diện tích
B.

.

C.

của tam giác bằng
.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức:
Câu 39. Cho tam giác
A.

.
có

.

. Diện tích
B.

.

của tam giác bằng

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Ta có nửa chu vi của tam giác là:

.

Áp dụng công thức Hê- rông, diện tích của tam giác là
Câu 40. Cho tam giác
bằng
A.

có độ dài ba cạnh là

.

B.

.

. Bán kính đường tròn nội tiếp

.

C.

.

D.

của tam giác
.

Lời giải
Chọn A
Ta có nửa chu vi của tam giác là:

.

Theo công thức Hê- rông, diện tích của tam giác là
Áp dụng công thức:

.

Câu 41. Cho tam giác
có diện tích
tiếp
của tam giác bằng
A.

.

.

B.

và
.

. Bán kính đường tròn ngoại
C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Áp dụng công thức:
Câu 42. Cho tam giác
bằng

.
có

và diện tích tam giác
Trang 14

. Khi đó giá trị

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Áp dụng công thức:

.

Dạng 8. Vận dụng giải tam giác vào việc giải một số bài toán có nội dung thực tiễn (ví dụ: xác định
khoảng cách giữa hai địa điểm khi gặp vật cản, xác định chiều cao của vật khi không thể đo trực tiếp...)
Câu 43. Biết rằng thang gấp hình chữ A hoa có góc chuẩn là
. Hai bên thang có chiều dài là
Hỏi khoảng cách hai chân của thang chữ A là bao nhiêu?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

.

Lời giải
Chọn C

A

B

C

Áp dụng định lý Cosin ta có:

.

Câu 44. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao
với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh
và chân
phương nằm ngang.

(hình vẽ). Từ vị trí quan sát
cao
so
của cột ăng-ten dưới góc
và
so với

Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây?
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn B
Từ hình vẽ, suy ra

và
Trang 15

.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Áp dụng định lí sin trong tam giác
, ta có

.
Trong tam giác vuông

, ta có

.

Vậy

.

Câu 45. Từ vị trí

người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). Biết

.

Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Trong tam giác AHB , ta có
Suy ra

.
.

Suy ra

.

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC , ta được

.
Câu 46. Giả sử

là chiều cao của tháp trong đó

đất sao cho ba điểm

và

là chân tháp. Chọn hai điểm

thẳng hàng. Ta đo được

Trang 16

,

trên mặt
.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

Chiều cao
A.

của tháp gần nhất với giá trị nào sau đây?

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Áp dụng định lí sin vào tam giác

, ta có

.

Ta có

.

Do đó

.

Trong tam giác vuông

, có

.

Câu 47. Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp. Đặt kế giác thẳng đứng
cách chân tháp một khoảng
, giả sử chiều cao của giác kế là
. Quay thanh
giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta nhìn thấy đỉnh
của tháp.
A

60°

B

O
1m

D

Đọc trên giác kế số đo của góc
sau đây?
A.

.

B.

60m

C

. Chiều cao của ngọn tháp gần nhất với giá trị nào
.

C.
Lời giải

Chọn C
Trang 17

.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Tam giác

vuông tại

có

.

Vậy chiều cao của ngọn tháp là

.

Câu 48. Từ hai vị trí
và
của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh
của ngọn núi. Biết rằng độ cao
, phương nhìn
tạo với phương nằm ngang góc
, phương nhìn
tạo với
phương nằm ngang góc
.

Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết, ta suy ra tam giác

có

Khi đó

.

.

Theo định lí sin, ta có
Gọi
góc

.

là khoảng cách từ

đến mặt đất. Tam giác vuông

nên

có cạnh

đối diện với

.

Câu 49. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc
. Tàu
chạy với tốc độ
hải lí một giờ. Tàu
chạy với tốc độ
hải lí một giờ. Sau
hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C

Sau

giờ tàu B đi được

hải lí, tàu C đi được
Trang 18

hải lí. Vậy tam giác

có

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Áp dụng định lí cosin vào tam giác

ta có

Câu 50. Để đo khoảng cách từ một điểm
trên bờ sông đến gốc cây
người ta chọn một điểm
cùng ở trên bờ với
sao cho từ
đo được khoảng cách

Vậy khoảng cách điểm
A.

.

,

và

.

trên bờ sông đến gốc cây
B.

.

gần nhất với giá trị nào sau đây?

C.

.

Lời giải
Chọn C
Áp dụng định lí sin vào tam giác

ta có

.
 HẾT 

Trang 19

trên cù lao giữa sông như hình vẽ,
và có thể nhìn thấy điểm . Ta

D.

.