www.facebook.com/groups/toantrongtam/
CHUYÊN ĐỀ 8: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Dạng 1. Viết phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng khi biết: một điểm và một vectơ pháp tuyến;
biết một điểm và một vectơ chỉ phương; tọa độ hai điểm đi qua (cả 2 dạng).
Câu 1.

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm

và có vectơ pháp tuyến

là
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm

và có vectơ pháp tuyến

là:
.
Câu 2.

Phương trình tổng quát của đường thẳng
phương là
A.

.

B.

đi qua

và nhận

C.

.

.

làm vectơ chỉ
D.

.

Lời giải
Chọn D
Do

nhận

làm vectơ chỉ phương suy ra

Phương trình tổng quát của đường thẳng

là một vectơ pháp tuyến của

.

là:

.
Câu 3.

Phương trình tham số của đường thẳng

đi qua điểm

và có vectơ chỉ phương

là
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn A
Phương trình tham số của đường thẳng

đi qua điểm

là

.

Trang 1

và có vectơ chỉ phương

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Câu 4.

Phương trình tham số của đường thẳng

đi qua điểm

và có vectơ pháp tuyến

là
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B
Đường thẳng

có vectơ pháp tuyến

đi qua điểm
Câu 5.

suy ra một vectơ chỉ phương của

, phương trình tham số của

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm
A.

.

B.

.

là

là
và

C.

là
.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Đường thẳng đi qua điểm
ra vec tơ pháp tuyến là

và

có vec tơ chỉ phương là

.

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm

Câu 6.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
A.

. Suy

B.

C.

và

là:

và

là
D.

Lời giải
Chọn C
Đường thẳng

đi qua hai điểm

và

làm vectơ chỉ phương hay nhận
Vậy đường thẳng

đi qua

và nhận

nên đường thẳng

nhận

làm vectơ chỉ phương.
làm vectơ chỉ phương có phương

trình tham số là
Dạng 2. Nhận biết được hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc với nhau bằng
phương pháp tọa độ
1. Kiến thức

Trang 2

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Cho hai đường thẳng

và

Để xét vị trí tương đối của

và

• Đặt

;

.

ta cần nhớ các kết quả sau để vận dụng:

;

.

Ta có:


cắt



.
và (

hoặc



.

• Nếu



).

cắt

thì ta có:

.



.



.

Ngoài ra chúng ta cần nắm vững: Cách bấm máy để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
được cho bởi pttq, điều kiện vuông góc của hai đường thẳng, cách chuyển đổi qua lại giữa các
loại phương trình đường thẳng cũng như cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng được
cho bởi phương trình tham số...
2. Bài tập trắc nghiệm.
Câu 7.

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
A. Trùng nhau.

và
B. Song song.

.

C. Cắt và vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.
Lời giải

Chọn B
Do
Câu 8.

nên

.

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
A. Trùng nhau.

và
B. Song song.

C. Cắt và vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.
Lời giải
Trang 3

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

Chọn D
và

lần lượt là vectơ pháp tuyến của

Do

Câu 9.

nên

,

và

.

cắt nhau nhưng không vuông góc.

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
A. Trùng nhau.

và
B. Song song.

.

C. Cắt và vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.
Lời giải

Chọn C

.

Câu 10. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
A. Trùng nhau.

và
B. Song song.

C. Cắt và vuông góc với nhau.

.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.
Lời giải

Chọn A

;

Do

nên

Thay tọa độ điểm

Do đó

và

và

,

.

cùng phương.

vào phương trình đường thẳng

ta được

.

trùng nhau.

Câu 11. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trang 4

và

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
B. Song song.

A. Trùng nhau.

C. Cắt và vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.
Lời giải

Chọn B

,

.

.

Do

nên

Thay tọa độ điểm

và

cùng phương.

vào phương trình đường thẳng

ta được

(vô nghiệm)

.

Do đó

và

song song.

Câu 12. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
A. Trùng nhau.
C. Cắt và vuông góc với nhau.

B. Song song.

và

.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.
Lời giải

Chọn D
.

.

Trang 5

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

Do

nên

,

cắt nhau nhưng không vuông góc.

Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng (cả 2 dạng) khi biết điểm đi qua và song song hoặc vuông góc
với một đường thẳng khác.
Câu 13. Trong mặt phẳng

, đường thẳng đi qua điểm

và song song với đường thẳng

có phương trình là
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Gọi

là đường thẳng cần tìm.

Đường thẳng

suy ra phương trình đường thẳng

có dạng

với

.
Do

nên

.

Vậy phương trình đường thẳng
Câu 14. Trong mặt phẳng

là

.

, đường thẳng đi qua điểm

và song song với đường thẳng

có phương trình là
A.

.

B.

.

C.

. D.

.

Lời giải
Chọn A
Đường thẳng
Gọi
Vì

Mà

có vectơ chỉ phương

.

là đường thẳng cần tìm.
nên

nhận

làm vectơ chỉ phương.

đi qua điểm

Câu 15. Trong mặt phẳng

nên có phương trình tham số là
, đường thẳng đi qua điểm

.
và vuông góc với đường thẳng

có phương trình là
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Trang 6

.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

Chọn C
Gọi

là đường thẳng cần tìm.

Đường thẳng

suy ra phương trình đường thẳng

Do

.

nên

Vậy

có dạng

với

.

.

Câu 16. Trong mặt phẳng
, cho tam giác
có
,
và
qua điểm và vuông góc với đường thẳng
có phương trình tham số là
A.

.

B.

. C.

. Đường thẳng đi

. D.

.

Lời giải
Chọn A
Gọi

là đường thẳng cần tìm.
.

Đường thẳng

vuông góc với đường thẳng

Suy ra đường thẳng

Mà đường thẳng

nên nhận vectơ

có vectơ chỉ phương là

đi qua điểm

.

nên có phương trình tham số là

Câu 17. Trong mặt phẳng
, đường thẳng đi qua điểm
của góc phần tư thứ nhất có phương trình tham số là
A.

làm vectơ pháp tuyến.

. B.

.

và song song với đường phân giác

. C.

. D.

.

Lời giải
Chọn B
Gọi

là đường thẳng cần tìm.

Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất có phương trình là
vectơ pháp tuyến và

làm

làm vectơ chỉ phương.

Theo đề bài ta có đường thẳng

đi qua điểm

phương nên có phương trình tham số là
Câu 18. Trong mặt phẳng
phương trình là

nhận

, đường thẳng đi qua điểm
Trang 7

và nhận

làm vectơ chỉ

.
và vuông góc với trục

có

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Đường thẳng đi qua điểm

và vuông góc với trục

pháp tuyến có phương trình là
Dạng 4. Tìm điều kiện của tham số
với nhau.

nên nhận

làm vectơ

.
để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc

Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
Xác định tất cả các giá trị của tham số
để hai đường thẳng đã cho song song với nhau.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

.

Lời giải
Chọn D
Do hai đường thẳng
Vậy

và

song song với nhau nên

.

Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
Xác định tất cả các giá trị của tham số
để hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau.
A.

B.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn C
có vectơ pháp tuyến là

.

có vectơ pháp tuyến là
Để

vuông góc với

Vậy

thì

.

Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ

.

, cho hai đường thẳng

. Tìm tất cả các giá trị của tham số

trùng nhau.
A.

.

B.

.

C.
Lời giải
Trang 8

.

và
để hai đường thẳng đã cho

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

Chọn B

Để

thì

Vậy

.

.

Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ
A.

, cho hai đường thẳng

. Tìm tất cả các giá trị của tham số
B.
.
C.

.

và

để hai đường thẳng đã cho cắt nhau.
.
D.
.

Lời giải
Chọn A
Hai đường thẳng

và

cắt nhau

(luôn đúng
Vậy với mọi giá trị

thì hai đường thẳng đã cho luôn cắt nhau.

Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ
đã cho đồng quy.
A.
.

).

, cho ba đường thẳng

;

. Xác định tất cả các giá trị của tham số
B.

.

C.

.

D.

;
để ba đường thẳng
.

Lời giải
Chọn D
Gọi

Tọa độ

là giao điểm của hai đường thẳng

và

.

là nghiệm của hệ:

Để ba đường thẳng

.
và

đồng quy thì

.
.

Vậy

.

Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ

.

và

. Xác định tất cả các giá trị của tham số

cho vuông góc với nhau.
A.

, cho hai đường thẳng

B.

.

C.
Trang 9

.

để hai đường thẳng đã
D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Lời giải
Chọn A
có vectơ chỉ phương là

.

có vectơ chỉ phương là

.
.

Vậy

.

Dạng 5. Tính góc giữa hai đường thẳng cho trước.
Câu 25. Tìm côsin của góc giữa
A.

.

đường thẳng
B.

và

.

C.

.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Véctơ pháp tuyến của
côsin của góc giữa

lần lượt là
đường thẳng

,

.

là:

.

Câu 26. Tìm côsin góc giữa
A.

.

đường thẳng
B.

.

và

.

.

D.

C.

.

Lời giải
Chọn C
Véctơ pháp tuyến của
côsin của góc giữa

lần lượt là
đường thẳng

,

.

là

.
Câu 27. Tìm góc giữa hai đường thẳng
A.
.
B.

và
C.

.

Lời giải
Chọn D
Trang 10

.
.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Véctơ pháp tuyến của
côsin của góc giữa

lần lượt là
đường thẳng

,

.

là

Vậy góc giữa hai đường thẳng đã cho bằng

.

Câu 28. Tìm góc giữa hai đường thẳng đường thẳng
A.
.
B. .

và
C.

.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Véctơ pháp tuyến của
côsin của góc giữa

lần lượt là
đường thẳng

,
là

Vậy góc giữa hai đường thẳng đã cho bằng
Câu 29. Phương trình đường thẳng đi qua
bằng
là
A.

.

C.

.

.

.
và tạo với đường thẳng
B.

một góc
.

D.
Lời giải

.

Chọn A
Gọi đường thẳng

đi qua

có véctơ pháp tuyến

Ta có

Với
Với
Vậy có

chọn
chọn

.

đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Trang 11

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Câu 30. Xác định giá trị của

để góc tạo bởi hai đường thẳng

một góc bằng
A.

.

và đường thẳng

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn A
Véctơ pháp tuyến của đường thẳng

là

.

Véctơ pháp tuyến của đường thẳng

là

Ta có

Vậy

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dạng 6. Tính được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (cả 2 dạng) bằng phương pháp toạ độ.

Câu 31. Khoảng cách từ điểm
A.

.

đến đường thẳng
B.

.

là
C.

.

D.

Lời giải
Chọn C

Xét đường thẳng
Từ
Thay

ta có
vào

ta có

Đường thẳng có phương trình tổng quát là:

Vậy
Câu 32. Khoảng cách từ điểm

.

.
đến đường thẳng
Trang 12

là

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
A.

.

B.

.

C. .

D.

.

Lời giải
Chọn C

Ta có:

.

Câu 33. Tìm tọa độ điểm

nằm trên trục

và cách đều

đường thẳng:

và

.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Giả sử

.

Ta có:

.
.

Vậy

Câu 34. Khoảng cách từ điểm
A.

.

đến đường thẳng
B.

.

là
C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A

Ta có:

.

Câu 35. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
A.

.

B.

và

.

C.
Lời giải

Chọn C
Trang 13

là
.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Xét

;

Có

Lấy

Ta có:

.

Câu 36. Bán kính của đường tròn tâm
A.

.

B.

và tiếp xúc với đường thẳng
.

C.

.

là
D.

.

Lời giải
Chọn D
.

Ta có

Dạng 7. Tìm giao điểm giữa hai đường thẳng bằng phương pháp tọa độ (trong đó có 1 phương trình tham
số).
Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trên là
A.

.

B.

.

C.

.

và
D.

.

Lời giải
Chọn A
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là nghiệm của hệ phương trình

.
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là

Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

.

, cho hai đường thẳng

và

. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là
A.

.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn A
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là nghiệm của hệ phương trình
Trang 14

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là
Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

.

, cho hai đường thẳng

và

. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là nghiệm của hệ phương trình

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là
Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

.

, cho hai điểm

,

và đường thẳng

. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
A.

.

B.

.

C.

và

.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Ta có

suy ra

là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng

Phương trình đường thẳng

là:

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

.
và

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là
Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

.

là nghiệm của hệ phương trình

.

, cho hai đường thẳng

. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là
Trang 15

và

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là nghiệm của hệ phương trình

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là

.

Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
giao điểm của đường thẳng và trục hoành là
A.

.

B.

.

. Tìm tọa độ

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

và trục hoành là nghiệm của hệ phương trình

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là

.

Dạng 8. Viết phương trình đường tròn (cả 2 dạng) khi biết toạ độ tâm và bán kính; biết đường kính.
Câu 43. Trong mặt phẳng

, đường tròn tâm

và bán kính

có phương trình là

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Đường tròn tâm

bán kính

Đường tròn tâm

và bán kính

Câu 44. Trong mặt phẳng

, đường tròn

có phương trình dạng:

.

có phương trình là:
tâm

và bán kính

A.

.

B.

C.

.

D.
Trang 16

.
có phương trình là
.
.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Lời giải
Chọn A
Phương trình đường tròn cần viết là:
.
Vậy

.

Câu 45. Trong mặt phẳng
thẳng

, phương trình đường tròn

có tâm

và tiếp xúc với đường

là

A.

.

C.

.

B.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B

Gọi
Đường tròn

. Ta có

.

có tâm

và tiếp xúc với đường thẳng

. Phương trình chính tắc của
Câu 46. . Trong mặt phẳng toạ độ
kính
là

, cho

là :

điểm

,

nên có bán kính
.

. Phương trình đường tròn đường

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Đường tròn đường kính

có tâm

là trung điểm của đoạn thẳng

Suy ra

.

.
Phương trình đường tròn đường kính

là:
Trang 17

và bán kính

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
.
Kết luận phương trình đường tròn đường kính
Câu 47. Trong mặt phẳng toạ độ
đường kính
là

, cho

là:

.

điểm

,

A.

.

B.

C.

.

D.

. Phương trình đường tròn
.
.

Lời giải
Chọn B
Đường tròn đường kính

có tâm

là trung điểm của đoạn thẳng

Suy ra

và bán kính

.

.
Phương trình đường tròn đường kính

là:
.

Kết luận: Phương trình đường tròn đường kính

là:

.

Câu 48. Trong mặt phẳng toạ độ
, cho hai điểm
,
. Tập hợp điểm
đoạn thẳng
dưới một góc vuông nằm trên đường tròn có phương trình là
A.

.

C.

B.

.

nhìn

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Tập hợp điểm
kính

có tâm

nhìn đoạn thẳng

dưới một góc vuông nằm trên đường tròn đường

là trung điểm của đoạn thẳng

Trang 18

và bán kính

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Vì

là trung điểm của đoạn thẳng

nên:

Bán kính đường tròn:

.

.

Phương trình đường tròn:

.

Kết luận: Phương trình đường tròn cần tìm là:

.

Dạng 9: Viết phương trình đường tròn (cả hai dạng) khi biết tọa độ tâm và đi qua một điểm; biết tọa độ
ba điểm mà đường tròn đi qua.
Dạng 9.1: Viết phương trình đường tròn khi biết tọa độ tâm và đi qua một điểm
Bài toán: Viết phương trình đường tròn có tâm

và đi qua điểm

.

Phương pháp
Ta có bán kính đường tròn là

. Khi đó phương trình đường tròn có dạng:
.

Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ

, phương trình đường tròn

có tâm

và đi qua

là:
A.

.

B.

C.

.

D.

.
.

Lời giải
Chọn C
Ta có

.

Khi đó đường tròn

cần tìm có tâm

và bán kính

Vậy phương trình đường tròn
Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ

.

.
, phương trình đường tròn

có tâm

và đi qua

là
A.
C.

.

B.

.

D.
Trang 19

.
.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Lời giải
Chọn D
Ta có

.

Khi đó đường tròn

cần tìm có tâm

và bán kính

Vậy phương trình đường tròn
Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ
A.

.
.

, phương trình đường tròn

.

có tâm

B.

C.

.

và đi qua

là

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Ta có

.

Khi đó đường tròn

cần tìm có tâm

và bán kính

Vậy phương trình đường tròn

.

Câu 52. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
qua điểm

, viết phương trình đường tròn có tâm

.

A.
C.

.

.
.

B.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Ta có
Khi đó đường tròn

.
cần tìm có tâm

và bán kính

Vậy phương trình đường tròn

.

.

Dạng 9.2: Viết phương trình đường tròn khi biết tọa độ ba điểm mà đường tròn đi qua
Bài toán: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm

,

Phương pháp
Áp dụng dạng khác của phương trình đường tròn:
, với
Trang 20

.

và

.

và đi

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Lần lượt thay tọa độ các điểm , ,
vào phương trình
bậc nhất ba ẩn. Giải hệ đó ta được kết quả , và .
Câu 53. Phương trình đường tròn

ta được một hệ phương trình

đi qua ba điểm

là:

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Giả sử đường tròn

cần tìm có phương trình là:

thuộc

.

Tọa độ của chúng đều là nghiệm của phương trình

.

.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm có dạng
Câu 54. Phương trình đường tròn

.

đi qua ba điểm

là

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Giả sử đường tròn
thuộc

cần tìm có phương trình là:

.

Tọa độ của chúng đều là nghiệm của phương trình

.

.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
.
Dạng 10. Xác định được tâm và bán kính đường tròn khi biết phương trình của đường tròn (cả 2 dạng).
Câu 55. Cho đường tròn có phương trình
A.

.

B.

. Tâm của đường tròn là
.

C.
Trang 21

.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Lời giải
Chọn D
Phương trình đường tròn có dạng:
.
Câu 56. Đường tròn
A.

nên suy ra tâm

và bán kính

có bán kính bằng bao nhiêu?

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Phương trình đường tròn có dạng:
.

nên suy ra tâm

Câu 57. Đường tròn
A.

và bán kính

có bán kính bằng bao nhiêu?

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Ta có:

. Suy ra

Vậy bán kính

,

.

.

Câu 58. Đường tròn
A.

,

có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây?
.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B

Phương trình đường tròn

có

,

,

nên tâm

.
Câu 59. Cho phương trình có dạng
phương trình đường tròn có bán kính
A.
.
B.
.

. Tìm tham số

để phương trình đã cho là

.
C.
Lời giải
Trang 22

.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

Chọn D
Phương trình

có

,

,

.

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn khi và chỉ khi
.
Với điều kiện

thì phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính

.

Mặt khác, ta có
Vậy

(thỏa mãn

là giá trị cần tìm.

Câu 60. Cho phương trình

. Tìm

trình đường tròn với tâm
A.

).

.

và

để phương trình đã cho là phương

.
B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Phương trình

có

,

,

.

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn khi và chỉ khi
. Do đó, phương trình đã cho luôn là phương
trình đường tròn với tâm

.

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn với tâm

.

Dạng 11. Viết được phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết toạ độ của tiếp điểm.
Câu 61. Cho điểm
đường tròn
A.

thuộc đường tròn
tại điểm

tâm

. Phương trình tiếp tuyến

của

là
.
Trang 23

B.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Phương trình tiếp tuyến

của đường tròn

tại điểm

có vectơ pháp tuyến

nên có phương trình là
Câu 62. Phương trình tiếp tuyến
A.

của đường tròn

tại điểm

.

C.

.

.

B.

.

D.

.

là

Lời giải
Chọn D
Đường tròn

có tâm

nên tiếp tuyến tại

có vectơ pháp tuyến là

nên có phương trình là:
Câu 63. Phương trình tiếp tuyến

của đường tròn

tại điểm

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

là

Lời giải
Chọn D

Đường tròn (C) có tâm
Chọn VTPT

nên tiếp tuyến tại N có VTPT là

.

. Phương trình là:

Câu 64. Phương trình tiếp tuyến
có hoành độ

của đường tròn

tại điểm

là

A.

hoặc

.

B.

hoặc

.

C.

hoặc

.

D.

hoặc

.

Lời giải
Chọn A
Gọi

là tiếp điểm,

là tiếp tuyến tại

Ta có:

.

.
Trang 24

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm

:

+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm

:

Câu 65. Phương trình tiếp tuyến

của đường tròn

tại điểm

có tung độ
A.

là
hoặc

.

B.

hoặc

.

C.

hoặc

.

D.

hoặc

.

Lời giải
Chọn A
Gọi

là tiếp điểm,

là tiếp tuyến tại

Ta có:

.

.

+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm

:

+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm

:

Câu 66. Phương trình tiếp tuyến

của đường tròn

tại giao điểm của

với trục hoành là
A.

hoặc

.

B.

hoặc

.

C.

hoặc

.

D.

hoặc

.
Lời giải

Chọn A
Đường tròn
Giao điểm của

có tâm

, bán kính

.

với trục hoành là nghiệm của hệ phương trình:

tại 2 điểm

và

.

Phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm
Trang 25

là:

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
+ Tại điểm

:

.

+ Tại điểm

:

.

Dạng 12. Nhận biết được ba đường conic bằng hình học cho trước hoặc bằng phương trình chính tắc cho
trước (hoặc ngược lại)
Câu 67. Trong các phương trình sau, đâu là phương trình chính tắc của parabol?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
là phương trình đường thẳng, từ đó loại đáp án A

là phương trình chính tắc của elip, từ đó loại đáp án B

là phương trình chính tắc của hypebol, từ đó loại đáp án C
Đáp án D là phương trình chính tắc của parabol.
Câu 68. Đồ thị ở hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Đồ thị trên là đồ thị của đường elip nên loại đáp án B và C
Từ đồ thị ta thấy toạ độ đỉnh trục lớn là

và

Toạ độ đỉnh trục bé là
và
độ dài trục bé là
Từ đó ta chọn đáp án A
Câu 69. Đường cong sau đây là hình dáng đồ thị của hàm số nào?
Trang 26

độ dài trục lớn là
.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

A.

.

B.

.

C.

.

Lời giải
Chọn A
Đường cong trên hình là hình dáng của đồ thị đường cong hypebol.
Câu 70. Hình vẽ nào dưới đây là đồ thị của hàm số

?

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn B

Hàm số

toạ độ đỉnh trục lớn là

Toạ độ đỉnh trục bé là
và
.
Từ đó ta chọn đáp án B
Câu 71. Đồ thị ở hình vẽ bên dưới là của hàm số nào?

Trang 27

và

.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Đồ thị trên ta thấy tiêu điểm của parabol là
Từ đó ta chọn đáp án B
Câu 72. Ông A có mảnh đất hình chữ nhật có kích thước là
. Ông A định đào một cái hố có hình
dạng elip nằm trong hình chữ nhật đó để làm hồ cá. Hãy xác định phương trình của đường elip
đó biết trung điểm các cạnh của hình chữ nhật là các đỉnh của elip.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Ta gắn mảnh đất hình chữ nhật đó lên hệ tọa độ

sao cho gốc tọa độ là tâm của hình chữ

nhật. Gọi trung điểm của các cạnh của hình chữ nhật lần lượt là

Từ đó ta có toạ độ đỉnh trục lớn là
Toạ độ đỉnh trục bé là
Từ đó ta chọn đáp án A

và

và

.
.

Trang 28

như hình vẽ.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Dạng 13. Nhận biết một số khái niệm cơ bản liên quan đến elip từ phương trình chính tắc cho trước.
Câu 73. Cho elip
A.

có phương trình
.

, khi đó

B.

.

có một tiêu điểm là

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C

Mặt khác
Vậy
Câu 74. Cho elip
A. .

.
có một tiêu điểm

.

có phương trình
B. .

, khi đó
C.

có tiêu cự bằng
.

D.

.

Lời giải
Chọn B

Mặt khác
Vậy

.
có tiêu cự bằng

.

Câu 75. Cặp điểm nào là các tiêu điểm của elip
A.

.

B.

?
.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Ta có

.
,

Suy ra hai tiêu điểm là
Câu 76. Cho elip có phương trình
A. .
B.

.

. Khi đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng
C.
.
D.
.
Lời giải
Trang 29

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

Chọn C

Ta có

.

Độ dài trục lớn (chiều dài hình chữ nhật cơ sở) là
Độ dài trục nhỏ (chiều rộng hình chữ nhật cơ sở) là

.
.

Diện tích hình chữ nhật cơ sở là

Câu 77. Cho một elip
có phương trình chính tắc
mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.
.
B.
.

. Gọi
C.

là tiêu cự của
.

. Trong các

D.

.

Lời giải
Chọn C
Ta có

.

Câu 78. Một elip có trục lớn bằng 26, tỉ số
A. .
B. .

. Trục nhỏ của elip có độ dài bằng bao nhiêu?
C.
.
D. .
Lời giải

Chọn A
Gọi elip

có phương trình chính tắc

Ta có

, mà

Vậy độ dài trục nhỏ là

.
. Suy ra

.

.

Dạng 14. Nhận biết một số khái niệm cơ bản liên quan đến parabol từ phương trình chính tắc cho trước.
Câu 79. Trục đối xứng của đồ thị hàm số
A.
.
B.
.

là
C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Đồ thị hàm số

với

có trục đối xứng là đường thẳng có phương trình

.
Vậy đồ thị hàm số
Câu 80. Cho hàm số

có trục đối xứng là đường thẳng có phương trình
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trang 30

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
A. Đồ thị hàm số là một đường thẳng.
B. Đồ thị hàm số là một parabol.
C. Hàm số đồng biến trên

.

D. Hàm số nghịch biến trên

.

Lời giải
Chọn B
Do hàm số

là hàm số bậc hai nên đồ thị hàm số là một parabol.

Câu 81. Đồ thị hàm số
A.

cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ là
.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

và trục hoành là nghiệm của phương

trình

Mà
Vậy đồ thị hàm số

cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ

Câu 82. Hàm số

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.Hàm số đồng biến trên khoảng

.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

.

Lời giải
Chọn D

Vì hàm số
khoảng

đồng biến trên khoảng
.

Vậy hàm số

nghịch biến trên khoảng

Câu 83. Tọa độ đỉnh của parabol
A.

và nghịch biến trên

.

là
B.

.

C.

.

Lời giải
Chọn D

Ta có : Tọa độ đỉnh của parabol

.
Trang 31

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Câu 84. Đồ thị hàm số
A.

có trục đối xứng và có tọa độ điểm đỉnh lần lượt là
.

B.

. C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Đồ thị hàm số

với

có trục đối xứng là đường thẳng có phương trình

và có tọa độ điểm đỉnh là
Vậy đồ thị hàm

có trục đối xứng là đường thẳng có phương trình

tọa độ điểm đỉnh là

và có

.

Dạng 15. Nhận biết một số khái niệm cơ bản liên quan đến hypebol từ phương trình chính tắc cho trước.
Câu 85. Trong các hình sau, hình nào biểu thị đường hypebol có phương trình

A.

.

B.

C.

D.

.

.

Lời giải
Chọn C
Từ phương trình hypebol thấy đường hypebol đi qua điểm
Câu 86. Cho hypebol có hình dạng như hình vẽ bên.

Trang 32

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

Phương trình chính tắc của hypebol là

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Từ hình vẽ ta thấy hypebol có tọa độ đỉnh là các điểm
vào phương trình trong bốn đáp án

chỉ có đáp án

Câu 87. Cặp điểm nào là các tiêu điểm của hypebol
A.

.

B.

. Thay tọa độ các đỉnh
thỏa mãn.

?

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Đối chiếu với phương trình chính tắc của hypebol dạng:

, ta suy ra:

;
Vậy tọa độ tiêu điểm là

.

Câu 88. Cặp đường thẳng nào là các đường tiệm cận của hypebol
A.

.

B.

.

C.

?
.

D.

Lời giải
Chọn A
Đối chiếu với phương trình chính tắc của hypebol dạng:
;
Trang 33

, ta suy ra:

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Vậy phương trình các đường tiệm cận của hypebol là

hay

Câu 89. Đường tròn nào ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của hypebol
A.

.

B.

.

C.

và
?

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Đối chiếu với phương trình chính tắc của hypebol dạng:

, ta suy ra:

;
Hình chữ nhật cơ sở có đường kính là

.

Vậy đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở có tâm

Câu 90. Đường hypebol
A.

, bán kính

có tiêu cự bằng

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Đối chiếu với phương trình chính tắc của hypebol dạng:
;
Vậy tiêu cự của hypebol là
 HẾT 

Trang 34

, ta suy ra:

là: